آشنایی با مباحث پیوستگی و مشتق در ریاضیات

فرمت فایل: word تعداد صفحات: 66 پيوستگــي 6 . 1 مفاهيم اوليه پيوستگي توابع پيوستگي از لحاظ ديداري، توابعي هستند كه در هيچ نقطهاي پارگي نداشته باشند. مثلاً تابع رسم شده در شكل 6 . 1 . 1، در نقطه a و b و c پيوسته نيست و در بقيه نقاط پيوسته است. (شكل 6.آشنایی با مباحث پیوستگی و مشتق در ریاضیات|30019317|bsv|آشنایی با مباحث پیوستگی و مشتق در ریاضیات
در حال حاظر فایل کامل و برتر با عنوان آشنایی با مباحث پیوستگی و مشتق در ریاضیات آماده دریافت می باشد برای مشاهده جزئیات فایل به ادامه مطلب یا دریافت فایل بروید.

فرمت فایل: word



تعداد صفحات: 66









پيوستگــي



6 . 1 مفاهيم اوليه پيوستگي



توابع پيوستگي از لحاظ ديداري، توابعي هستند كه در هيچ نقطه‌اي پارگي نداشته باشند. مثلاً تابع رسم شده در شكل 6 . 1 . 1، در نقطه a و b و c پيوسته نيست و در بقيه نقاط پيوسته است.





(شكل 6. 1. 1)



6. 1 . 1 تعريف ـ تابع f را در نقطه a پيوسته مي‌گوئيم هرگاه، f(a) موجود باشد.





6. 1. 2 مثال ـ فرض كنيد تابع f به صورت زير تعريف شده است.





اگر





پس f در پيوسته است. اما،





بنابراين f در a=1 پيوسته نيست. نمودار تابع در شكل 6. 1. 2 رسم شده است.





(شكل 6. 1. 2)



6. 1. 3 مثال ـ در شكل نمودار تابع ، رسم شده است. شكل نشان مي‌دهد كه f‌ در پيوسته نيست.





(شكل 6. 1. 3)



6. 1. 4 تبصره ـ فرق عمده‌اي بين ناپيوستگي تابع f‌ در مثال 6. 1. 2 و تابع g‌ در مثال 6. 1. 3 وجود دارد. اگر مقدار f را در نقطه ، 5 تعريف كنيم، يعني قرار دهيم ، در اين صورت تايع پيوسته مي‌شود. ولي اگر را هر عددي اختيار كنيم، تابع نمي‌تواند پيوسته باشد.



اصطلاحاً ناپيوستگي f را رفع شدني و ناپيوستگي g را رفع نشدني مي‌گوئيم.



6. 1. 5 تعريف ـ اگر f تابعي باشد كه حول يك همسايگي از a تعريف شده باشد و در نقطه a ناپيوسته باشد. ناپيوستگي f‌ را در نقطه a را رفع شدني مي‌گوئيم هرگاه موجود و متناهي بوده ولي . در غير اين صورت ناپيوستگي را رفع نشدني مي‌گوئيم.



در حالت ناپيوستگي رفع نشدني، عدد را در صورت وجود جهش در نقطه مي‌گوئيم.



6. 1. 6 مثال ـ تعيين كنيد كدام يك از توابع زير در نقطه داده شده ناپيوستگي دارند و از چه نوع؟



در در نقطه



حل ـ براي f داريم:





در نتيجه f ناپيوستگي از نوع رفع شدني دارد.



در مورد g‌ مي‌توان نوشت:





داريم در نتيجه موجود نيست. بنابراين g‌ ناپيوستگي از نوع رفع نشدني دارد.



6. 1. 7 قضيه



الف) اگر f و g در نقطه a پيوسته باشند، آنگاه f+g ، f g و fg نيز در نقطه a پيوسته هستند. و همينطور اگر نيز در a پيوسته است.



ب) اگر f در a پيوسته باشد و g‌ در f(a) پيوسته باشد آنگاه gof در a پيوسته است.



اثبات ـ (الف) با توجه به قضيه‌هاي 5. 2. 5 و 5. 2. 6 واضح است. (ب) با توجه به قضيه 5. 2. 7 واضح است.



6. 1. 8 قضيه ـ (پيوستگي توابع خاص)



1) توابع Sin x ، Cos x در هر نقطه پيوسته هستند.



2) توابع Cot x+ tan x در هر نقطه كه تعريف شده باشند، پيوسته‌اند.



3) توابع چند جمله‌اي همه جا پيوسته‌اند.



4) توابع كسري در هر نقطه كه تعريف شده باشند پيوسته هستند.



5) تابع ، اگر n فرد باشد همه جا پيوسته است ولي اگر n زوج باشد به ازاي هر ، در a پيوسته است.



اثبات ـ (1) و (2) از قضيه 5. 3. 5 نتيجه مي‌شود، (3) از قضيه 5. 3. 1 نتيجه مي‌شود، (4) با توجه به (3) و قضيه 6. 1. 7 اثبات مي‌شود و (5) با توجه به قضيه 5. 3. 3 ثابت مي‌شود.



6. 1. 9 مثال ـ توابع زير را در نظر بگيريد:



الف)



ب)



ج)



نقاط ناپيوستگي را در صورت وجود پيدا كنيد، نوع آنها را مشخص كنيد و جهش آنها را در نقاط ناپيوستگي، در صورت وجود بيابيد.